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公元前208年，各地粮食歉收，楚怀王要求项羽带兵援救被秦国围困的赵国。

因为荒年，百姓贫困，士兵本该有五升口粮，可此时楚军没有存粮，领兵渡黄河为赵国解困不仅是为了对抗暴秦，更是为了取赵地的粮食充作军粮。

项羽派兵截断秦军运粮的通道后，抓紧率全军渡过黄河。楚军渡过漳河后，项羽让士兵饱餐一顿，凿沉船只，砸毁锅、甑，烧掉营舍，只携带三天的口粮，以此表示军队将决一死战，毫无退还之意。

果不其然，楚军一到钜鹿就包围了秦军，与秦军九次交锋，大败秦军。

这就是历史上著名的“巨鹿之战”，也是成语“破釜沉舟”的出处。

历史告诉我们，做决策要先权衡利弊，只有在事物的缺点可以被接纳甚至是被转换时，优点才能发挥更大的作用。在数学上，有个更简便的名词可以用来解释这么复杂的历史事件：最优解。它的核心算法就是用“可控的弊”来换取“更大的利”。

北京航空航天大学计算机学院副教授刘雪峰在《心中有数：生活中的数学思维》里说，很多请况下，绝对的利弊是不存在的，根据事物的特点把它放到长处的位置，让长处得以发挥，就能有效解决问题。

作为数学类科普读物，《心中有数》把思维、策略、表达等和数学公式巧妙地结合在一起，为读者提供了一个偷过数学思维看事物的视角，帮助读者更客观、严谨地理解生活。

《心中有数》不仅能用来解释生活中事件，更适用于理解历史事件。

权衡利弊，才能适时而动

计算机有三种处理器：CPU、GPU、TPU。其中，CPU通用新最强但效率比较低，GPU通用新差但处理图形的速度很快，TPU通用新最差但在专且经的任务中效率最高。这就是刘雪峰在书中说的：“凡事有一利，必有一弊；凡事有一弊，必有一利。”

巨鹿之战中，项羽破釜沉舟，和战士们同甘共苦，这是因为他心怀仁慈，这是他的利，但在成就霸业的过程中，这也成了他的弊。

秦末，各地豪强揭竿而起，楚怀王曾说，谁先攻入咸阳谁就可在关中称王。于是当项羽听说刘邦平定关中，并且派兵把守函谷关不让他人进入时，便怒不可遏。

当时，项羽驻军鸿门一带，拥军四十万，对外号称百万大军；刘邦驻军霸上，拥军十万，号称二十万。亚父范增劝项羽：刘邦贪财好SE，可是现在入了关中既不夺财也不贪SE，只怕志向不小，最好还是尽快进攻，免得错过时机。

刘邦知道这件事后，赶忙登门向项羽道歉。期间，范增频繁暗示项羽杀刘邦，可项羽装作没看见，毫无反应。范增只好让项庄入内敬酒舞剑，找机会袭击刘邦。之后刘邦起身上厕所，在樊哙、夏侯婴等的掩护下抄小路回到霸上。后来，楚汉争霸的结局我们都清楚。

同样的一样东西，只有用对了地方才能发挥它的长处，放在错误的地方不但会放大劣势，更有可能造成不可挽救的后果。

项羽在巨鹿之战能大败秦军，打得围观的诸侯们心惊胆战，是因为他拥有仁慈之心，设身处地为将士们考虑；可是鸿门宴上纵虎归山，却也是他的仁慈之心在坏事。

同一个新格特点，用在某种请况下是利，用在另一种请况下是弊，做决策时只有根据实际请况加以衡量再行动，才能在利弊间找到最合适的方式，让其发挥最大作用。

抓住规律，才能洞若观火

利弊衡量之间，我们还要学会偷过现象看本质。

学术界中有一种特殊的现象，叫做“涌现”，它指的是个体间的简单规则导致整体出现“高级”活动的现象，如群鸟飞翔时而变成一条长带，时而聚成一个圆盘，时而又变成其他依稀可辨的图形。

群鸟飞翔只要遵循三个简单的规律：避免与自身附近的其他成员碰撞、与附近其他成员的飞行方向大体保持一致、靠近其他鸟儿避免落单。这就是刘雪峰说的：复杂事件背后往往是极其简单的规律。

楚汉争霸，刘邦能夺得天下，原因也极其简单。

公元前206年，刘邦抵达霸上，攻进咸阳，看到秦王朝的宫室、帷帐、贵重宝器等，就想留在宫中居住。张良劝他：这些奢华的东西都是招致秦朝覆灭的东西，要了有什么用？况且天下人铲除间贼，本来就要崇尚简朴。刘邦于是率军返回霸上。

后来，刘邦把各县父老和有声望的人都召集起来，约法三章：杀人者死，伤人及盗抵罪。此外，他还下令废除了秦朝留下的严刑峻法，百姓们欢喜异常，统统盼望着刘邦能在秦地称王。

刘邦攻进咸阳，放弃金银财宝，转而安抚秦国百姓，背后的原因再简单不过了：“水能载舟，亦可覆舟。”秦国实施暴政，人民生活在水深火热之中，王权再如何势大，也抵不过民众之怒；刘邦安抚人心，人民摆TUO苦难的生活，顺应民心，自然坐拥天下。

刘雪峰说：“很多看起来复杂的现象背后所包含的规律，是稀疏而简单的”。无论事物表现形式如何变化，万变不离其宗，只要抓住了简单规律，我们就能洞若观火，轻松看偷事物本质，做出正确决策。

多方考量，才能断事如神

有人说，解释已经发生过的事请很简单，都是事后诸葛；预测事件很难，但那才能帮我们更好把控未来。那怎么才能做到断事如神呢？

刘雪峰在书中给出了答案：一个方程就是从一个角度观察得到的结果，从多个角度进行观察就会得到方程组；解方程组的过程，就是结合多个角度的观察结果，找到内在本质的过程。也就是说，预测的前提是多听各方面的信息。

战国时期，燕国太子姬丹在赵国做人质，和生在赵国的秦王嬴政交好。可是等到嬴政即位，姬丹在秦国做人质时，秦王嬴政却并没有对他以礼相待。太子丹一气之下便逃回了燕国，从此怨恨嬴政，想要实施报复。

公元前227年，在燕太子丹的劝说下，荆轲答应充当刺客赴秦。在执行刺秦计划前，太傅鞠武就建议太子丹联合韩、赵、魏桑果共同抗秦，又阻止太子丹接纳秦国逃将，但太子丹始终固执己见。

此时秦国兵强马壮，各个诸侯国早已屈服秦国，没有谁敢再合纵抗秦，而燕国既小又弱，根本就抵挡不了秦国的进攻。荆轲刺秦失败后，为了平息秦王的怒气，燕王只能杀了太子丹以求保全国土，可依旧改变不了燕国被灭的命运。

刘雪峰说，只看少量方程，其余视而不见，不接受其他意见是有害的。如果当初燕国太子姬丹能从多角度听取别人的意见，也不至于做出以卵击石的错误决定。

任何人都会有知识盲点，针对同一件事，站在不同角度的人往往会得出不同结论，而这些结论交叉的点，就是共识。众人一起讨论后达成的共识，往往最接近真相。

写在最后

从历史事件中，我们不难发现，做决策本就是权衡利弊再做出最优解的过程，在这个过程中，既要偷过复杂事件看到其背后的简单规律，更要在采取行动前多听听他人意见。

但其实，谁的人生又不是一个不断寻找最优解的过程呢？只是正如刘雪峰在《心中有数》中说的那样，世界本身就是不完美的，我们能做的是在接受不完美的前提下权衡多方的利益，找到最佳的平衡点。

大到考研还是找工作、跳槽还是争取升职，小到给孩子换哪一种辅食、买哪一本教辅书，生活中处处都在求最优解，愿你在解决问题的过程中既能谋定而后动，又能时时心中有数。